Question

如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在A₁B₁上，且滿足=λ（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出與的坐標(biāo)，要證PN⊥AM，只需求證它們的數(shù)量積為零即可；
（II）設(shè)出平面ABC的一個(gè)法向量，表達(dá)出sinθ，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的λ值，進(jìn)而求出此時(shí)θ的正切值；
（III）求出平面AMN的法向取=（1，-1，2），=（，0，1），利用d=可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ） 證明：以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
則P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，）
∴，=（0，1，）
從而=，∴PN⊥AM；
（Ⅱ）解：平面ABC的一個(gè)法向量為=（0，0，1），
則sinθ=|cos＜，＞|==
而，當(dāng)θ最大時(shí)，sinθ最大，tanθ最大，
故λ=時(shí)，sinθ取到最大值時(shí)，tanθ=2．
（Ⅲ）解：設(shè)平面AMN的法向量為=（x，y，z）   
由•=0，•=0，得，∴可取=（1，-1，2）
∵=（，0，1）
∴d==．
點(diǎn)評(píng)：利用向量知識(shí)解決立體幾何問題的優(yōu)點(diǎn)在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關(guān)鍵在于用坐標(biāo)表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式