Question

【題目】設個質(zhì)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，且.求證

（1）當是質(zhì)數(shù)時，；

（2）當時，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）因為 ，，所以，都是大于的質(zhì)數(shù).因此，每一個都不能被整除.

而被除時只能取個不同的余數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)被除的余數(shù)相同.設這兩個數(shù)為、.于是，

能被整除.

但，為質(zhì)數(shù)，所以，.

因此，.

（2）設這15個質(zhì)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.由于這15個質(zhì)數(shù)必都是奇數(shù)，所以，公差為偶數(shù)，即.

由其中的，，這3個質(zhì)數(shù)成等差數(shù)列，，根據(jù)（1）中的結(jié)論，得.

由，，，，這5個質(zhì)數(shù)成等差數(shù)列，，根據(jù)（1）中的結(jié)論，得.

由，和且，可得.

因此，由知.但為質(zhì)數(shù)，所以，.

于是，由這7個質(zhì)數(shù)成等差數(shù)列，，根據(jù)（1）中的結(jié)論，得.

同理，由這11個質(zhì)數(shù)成等差數(shù)列， ， 根據(jù)（1）中的結(jié)論，得.

由這13個質(zhì)數(shù)成等差數(shù)列， ，根據(jù)（1）中的結(jié)論，得.

因為，所以，，

即.

故.