Question

【題目】已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).

（1）若，求的最值；

（2）若，證明：對任意的，存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）最小值為，沒有最大值；（2）證明見解析

【解析】

（1）求函數(shù)的定義域，求，利用的正負，判斷的單調(diào)性，求出的最值；

（2）求出，易知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，求出的取值范圍，得到，所以在上單調(diào)遞增，再求出的取值范圍.由題意，問題轉(zhuǎn)化為證明的最大值小于等于的最大值成立.

（1）函數(shù)的定義域為.

當(dāng)時，，.

所以在上，在上，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因為，所以的最小值為，沒有最大值.

（2）由題意得.

因為在上單調(diào)遞增，所以，

即.

因為且，所以，所以在上單調(diào)遞增.

所以，即.

依題意知，只需成立即可.

要證成立，即證成立.

因為，所以，，所以，

從而，原命題得證.