Question

（2013•房山區(qū)一模）某商品在最近100天內(nèi)的單價f（t）與時間t的函數(shù)關(guān)系是f(t)=

t 4 +22(0≤t＜40，t∈N) - t 2 +52(40≤t≤100，t∈N)

日銷售量g（t）與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-

t

3

+

109

3

(0≤t≤100，t∈N)．則這種商品的日銷售額的最大值為

808.5

．

Answer 1

分析：由已知中銷售單價f（t）與時間t（t∈N）的函數(shù)f（t），及銷售量g（t）與時間t（t∈N）的函數(shù)g（t），結(jié)合銷售額為S（t）=f（t）g（t），我們可以求出銷售額為S（t）的函數(shù)解析式，再利用“分段函數(shù)分段處理”的原則，分別求出每一段上函數(shù)的最大值，即可得到商品日銷售額S（t）的最大值．

解答：解：由已知銷售價f(t)=

t 4 +22(0≤t＜40，t∈N) - t 2 +52(40≤t≤100，t∈N)

，
銷售量g(t)=-

t

3

+

109

3

(0≤t≤100，t∈N)，
∴日銷售額為S（t）=f（t）g（t），
即當(dāng)0≤t＜40時，S（t）=（

1

4

t+22）（-

1

3

t+

109

3

）=-

1

12

t²+

7

4

t+

2398

3

，
此函數(shù)的對稱軸為x=

21

2

，又t∈N，最大值為S（10）=S（11）=

1617

2

；
當(dāng)40≤t≤100時，S（t）=（-

1

2

t+52）（-

1

3

t+

109

3

）=

1

6

t²-

213

6

t+

265

3

，
此時函數(shù)的對稱軸為x=

213

2

＞100，最大值為S（100）=6．
綜上，這種商品日銷售額S（t）的最大值為

1617

2

=808.5，此時t=10或t=11．
故答案為：808.5．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的解析式求法，函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)日銷售額為S（t）=f（t）g（t），得到銷售額為S（t）的函數(shù)解析式，是解答本題的關(guān)鍵．