精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
函數(shù)f（x）=ax3+bx（a≠0）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求a、b的值；
（2）討論方程f（x）=m解的情況（相同根算一根）．
解：（1）∵f′（x）=3ax2+b的最小值為-12
∴b=-12，且a＞0
又直線6x+y+7=0的斜率為-6
∵函數(shù)f（x）=ax3+bx（a≠0）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，
，列表如下：
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，
）和
∴f（x）在
時(shí)取得極大值為
，f（x）在
時(shí)取得極小值為
∴當(dāng)
或
時(shí)，方程有一根；
當(dāng)
或
時(shí)，方程有兩個(gè)根；
當(dāng)
時(shí)，方程有三個(gè)根
分析：（1）利用f′（x）=3ax2+b的最小值為-12，可知b=-12，且a＞0，根據(jù)直線6x+y+7=0的斜率為-6，可得f'（1）=3a+b=-6，所以a=2；
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，，從而可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）和，進(jìn)而可知f（x）在時(shí)取得極大值為，f（x）在時(shí)取得極小值為，由此可確定方程解的情況．
點(diǎn)評：本題以導(dǎo)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，考查方程解的討論，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的極值，從而確定方程解的情況．
∴b=-12，且a＞0
又直線6x+y+7=0的斜率為-6
∵函數(shù)f（x）=ax3+bx（a≠0）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，
，列表如下：| x | （-∞，） | |  |  | |
| f′ | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
）和∴f（x）在
時(shí)取得極大值為，f（x）在時(shí)取得極小值為∴當(dāng)
或時(shí)，方程有一根；當(dāng)
或時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)
時(shí)，方程有三個(gè)根分析：（1）利用f′（x）=3ax2+b的最小值為-12，可知b=-12，且a＞0，根據(jù)直線6x+y+7=0的斜率為-6，可得f'（1）=3a+b=-6，所以a=2；
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，
，從而可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）和，進(jìn)而可知f（x）在時(shí)取得極大值為，f（x）在時(shí)取得極小值為，由此可確定方程解的情況．點(diǎn)評：本題以導(dǎo)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，考查方程解的討論，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的極值，從而確定方程解的情況．
練習(xí)冊系列答案
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相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
有下列命題：
①若f（x）存在導(dǎo)函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數(shù)h（x）=cos4x-sin4x，則h′(
)=1；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點(diǎn)”的充要條件．
其中真命題的序號是 ．
①若f（x）存在導(dǎo)函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數(shù)h（x）=cos4x-sin4x，則h′(
| π | 12 |
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點(diǎn)”的充要條件．
其中真命題的序號是
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”；
定義：（2）設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo) ；
（2）檢驗(yàn)函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論 ．
定義：（1）設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”；
定義：（2）設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)
（2）檢驗(yàn)函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知下表為函數(shù)f（x）=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應(yīng)函數(shù)值，為了便于研究，相關(guān)函數(shù)值取非整數(shù)值時(shí)，取值精確到0.01．
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質(zhì)：
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零點(diǎn)，并說明理由．
| x | -0.61 | -0.59 | -0.56 | -0.35 | 0 | 0.26 | 0.42 | 1.57 | 3.27 |
| y | 0.07 | 0.02 | -0.03 | -0.22 | 0 | 0.21 | 0.20 | -10.04 | -101.63 |
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零點(diǎn)，并說明理由．
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