Question

如圖示：已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)在第二象限，且到準(zhǔn)線距離為時(shí)，求；
（2）證明：.

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）先利用拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)求出直線的方程，然后將直線和拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與拋物線的定義求出弦的長(zhǎng)；（2）先求出曲線在點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程，并求出兩切線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證進(jìn)而得到.
試題解析：（1）拋物線的方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)，，則有，
由于點(diǎn)在第二象限，則，將代入得，，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故直線的方程為，變形得，
代入拋物線的方程并化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理得，
；
（2）設(shè)直線的方程為，將代入拋物線的方程并化簡(jiǎn)得，
對(duì)任意恒成立，
由韋達(dá)定理得，，
將拋物線的方程化為函數(shù)解析式得，，則，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，即①，
同理可知，曲線在點(diǎn)處的切線方程為②，
聯(lián)立①②得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
而，
，.