Question

22.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有

λ(x₁－x₂)²≤(x₁－x₂)［f(x₁)－f(x₂)］

和

|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|,

其中λ是大于0的常數(shù).

設(shè)實(shí)數(shù)a₀、a、b滿足f(a₀)=0和b=a－λf(a).

(Ⅰ)證明：λ≤1，并且不存在b₀≠a₀，使得f(b₀)=0;

(Ⅱ)證明：(b－a₀)²≤(1－λ²)(a－a₀)²;

(Ⅲ)證明：［f(b)］²≤(1－λ²)［f(a)］².

Answer 1

22.本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

    證明: (Ⅰ)任取x₁、x₂∈R,x₁≠x₂,則由

λ(x₁－x₂)²≤(x₁－x₂)［f(x₁)－f(x₂)］                          ①

和

|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|                                              ②

可知

λ(x₁－x₂)²≤(x₁－x₂)［f(x₁)－f(x₂)］=|x₁－x₂|·|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|²,從而　λ≤1.

假設(shè)有b₀≠a₀,使得f(b₀)=0成立,則由①知

0＜λ(a₀－b₀)²≤(a₀－b₀)［f(a₀)－f(b₀)］=0，矛盾.

∴不存在b₀≠a₀,使得f(b₀)=0.

(Ⅱ)由            b=a－λf(a).                                            ③

可知

(b－a₀)²=［a－a₀－λf(a)］²

=(a－a₀)²－2λ(a－a₀)f(a)+λ²［f(a)］².                        ④

由f(a₀)=0和①式，得

(a－a₀)f(a)=(a－a₀)［f(a)－f(a₀)］≥λ(a－a₀)²              ⑤

由f(a₀)=0和②式知，

［f(a)］²＝［f(a)－f(a₀)］²≤(a－a₀)².                          ⑥

則將⑤、⑥式代入④式，得

(b－a₀)²≤(a－a₀)²－2λ² (a－a₀)²+λ²·(a－a₀)²

=(1－λ²)(a－a₀)².

(Ⅲ)由③式，可知

［f(b)］²=［f(b)－f(a)+f(a)］²

=［f(b)－f(a)］²+2f(a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］²           

≤(b－a)²－2·［f(b)－f(a)］+［f(a)］²                        （用②式）

=λ²［f(a)］²－ (b－a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］²

≤λ²［f(a)］²－·λ·(b－a)²+［f(a)］²                            （用①式）

=λ²［f(a)］²－2λ²［f(a)］²+［f(a)］²

=(1－λ²)·［f(a)］².