Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是橢圓上的動點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析試題分析：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x₀,y₀),
由      得
又點(diǎn)P在橢圓上,得,
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是
(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S_△ABC=1.
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時,設(shè)該直線方程為y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,
∴△ABC的面積S_△ABC=
于是S_△ABC=
由≥－1,得S_△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時,等號成立.
∴S_△ABC的最大值是
考點(diǎn)：橢圓方程幾何性質(zhì)，直線與橢圓相交問題及軌跡方程
點(diǎn)評：第二問中求軌跡方程用到的是相關(guān)點(diǎn)法，即設(shè)出所求點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化到已知條件中的點(diǎn)然后代入已知橢圓方程；第三問需注意討論直線斜率存在不存在兩種情況，其中求最值用到了均值不等式，此題有一定的難度