Question

已知△ABC中，（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，（1）求∠C；（2）若△ABC的外接圓半徑為2，試求該三角形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把題設中的條件中的角的正弦換成邊，化簡整理得a²+b²-c²=ab，進而利用余弦定理求得cosC，則C可得．
（2）利用三角形面積公式表示出三角形的面積，利用正弦定理把邊換成角的正弦，利用兩角和公式化簡整理，進而利用正弦函數(shù)的性質求得三角形面積的最大值．

解答：解：（1）由（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得（a-c）（a+c）=（a-b）b，
∴a²-c²=ab-b²，∴a²+b²-c²=ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

又∵0°＜C＜180°，∴C=60°
（2）S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab=4

3

sinAsinB=4

3

sinAsin（120°-A）
=4

3

sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）=6sinAcosA+2

3

sin²A
=3sin2A-

3

cos2A+

3

=2

3

sin（2A-30°）+

3

∴當2A=120°，即A=60°時，S_max=3

3

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．解題的關鍵是利用了正弦定理完成了邊角問題的互化．