Question

【題目】設(shè)函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）若，且曲線的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求該切線的方程；

（Ⅱ）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）（2）時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】試題分析：（Ⅰ）將代入后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出此時(shí)的導(dǎo)數(shù)即切線斜率，可得切線方程；　（Ⅱ）函數(shù)求導(dǎo)后可得，對(duì)按進(jìn)行討論，判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求出極值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

試題解析：（Ⅰ），

經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的切線方程為

由，得，所求切線為

（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，由得

⑴時(shí)，若，則；若，則。函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，的最小值為

①時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)

②時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)

③時(shí)，，根據(jù)與函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間和各有一個(gè)零點(diǎn)，共有兩個(gè)零點(diǎn)

⑵時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)

⑶時(shí)，由得，，由函數(shù)圖象知，曲線與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述，時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)