Question

某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)a+b取最大值時(shí)，該幾何體的表面積是

2

2

+1

．

Answer 1

分析：由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱錐，底面一邊長(zhǎng)為1的直角三角形，一條棱長(zhǎng)為2，由于本題中含有兩個(gè)參數(shù)，且需求滿足兩者和最大時(shí)的體積，故本題第一步是找到關(guān)于a，b的表達(dá)式，先求其和最大時(shí)兩參數(shù)的值，再由體積公式求體積，觀察發(fā)現(xiàn)，可以先用參數(shù)a，b表示出PC，PB的值，在直角三角形BPC中用公股定理建立關(guān)于a，b的方程，研究此方程求出滿足條件的參數(shù)的值再求表面積即可．

解答：解：由題設(shè)可得其直觀圖如圖，
由三視圖知，PA，PB，PC兩兩垂直
PA=1，BC=2，AB=b，AC=a
如圖有PC=

a2-1

，PB=

b2-1

在直角三角形BPC中有PC²+PB²=BC²=4，
即a²-1+b²-1=4，即a²+b²=6，
可設(shè)a=

6

cosθ，b=

6

sinθ，θ∈（0，2π）
則a+b=

6

cosθ+

6

sinθ
=2

3

sin（ θ+

π

4

）≤2

3

，
最大值當(dāng) θ=

π

4

時(shí)取到．
此時(shí)a=b=

3

，驗(yàn)證知符合題意．
由此知PC=

a2-1

=

2

，PB=

b2-1

=

2

，
∴S△PAB=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
S△PAC=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
S△PBC=

1

2

×

2

×

2

=1，
△ABC中，作AH⊥BC，交BC于H，
∵PB=PC=

3

，BC=2，
∴AH=

3-1

=

2

，
∴S△ABC=

1

2

×2×

2

=

2

．
∴幾何體的表面積S=

2

2

+

2

2

+1+

2

=2

2

+1．
故答案為：2

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是三棱錐的表面積．三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”．三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在以后的高考中有加強(qiáng)的可能．本題增加了最值問題的考查，題目難度增加，綜合性較強(qiáng)．