Question

已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.

試題分析：（Ⅰ）為了證明∥平面,需要在平面內(nèi)找一條與平行的直線，而要找這條直線一般通過(guò)作過(guò)且與平面相交的平面來(lái)找.在本題中聯(lián)系到為中點(diǎn)，故連結(jié)，這樣便得一平面，接下來(lái)只需證與交線平行即可.對(duì)（Ⅱ）（Ⅲ）兩個(gè)小題，由于是直三棱柱，且，故兩兩垂直，所以可以以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決.
試題解析：（Ⅰ）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).由 是直三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn).又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以 ∥， 因?yàn)?平面，平面， 所以 ∥平面.                            4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

，則.
所以 ，
設(shè)平面的法向量為，則有
所以  
取，得.       6分
易知平面的法向量為.                  7分
由二面角是銳角，得 .   8分
所以二面角的余弦值為.
（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031642273318.png" style="vertical-align:middle;" />在線段上，，，故可設(shè)，其中.
所以 ，.          9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031642289410.png" style="vertical-align:middle;" />與成角，所以.         10分
即，解得，舍去.      11分
所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.        12分