Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx．（a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，求函數(shù) y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f′(1)=-

1

2

a，3a＞2c＞2b，試問(wèn)：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
（3）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離不小于

3

，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，及x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，可得x2=0，x1+x3=

9

2

，x1•x3=-12，從而x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，
由韋達(dá)定理可用a把b，c表示出來(lái)，讓后按a的符號(hào)分情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由f′(1)=-

1

2

a可得a，b，c間的關(guān)系式，再由3a＞2c＞2b可判斷a，b的符號(hào)，根據(jù)零點(diǎn)存在條件分情況討論即可；
（3）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

，|m-n|可用a，b表示出來(lái)，根據(jù)已知可得不等式得

b

a

的一范圍，
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，由此可得

b

a

的又一范圍，兩者取交集即可得到

b

a

的取值范圍．

解答：解（1）因?yàn)?span id="rpxsd1m" class="MathJye">f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又x1+x2+x3=

9

2

，x₁x₃=-12，
所以x2=0，x1+x3=

9

2

，x1•x3=-12，
因?yàn)閤₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，
所以-

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=-12，即b=-3a，c=-4a，
從而：f(x)=

1

3

ax3-

3

2

ax2-4ax，
所以f′（x）=ax²-3ax-4a=a（x-4）（x+1）．
令  f′（x）=0解得：x=-1，x=4，
當(dāng)a＞0時(shí)，y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（4，+∞）．
當(dāng)a＜0時(shí)，y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因?yàn)閒'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，
所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因?yàn)?a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①當(dāng)c＞0時(shí)，因?yàn)?span id="bzxlcmj" class="MathJye">f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，
則f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)c≤0時(shí)，因?yàn)?span id="k3zf7ie" class="MathJye">f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，
則f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
故導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
（3）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

．
所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．
由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，則(

b

a

+2)2+2≥3，即(

b

a

+2)2≥1．
所以

b

a

+2≥1或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1或

b

a

≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-

3

4

a．
因?yàn)閍＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．
綜上所述，

b

a

的取值范圍是[-1，-

3

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．