Question

設(shè)曲線C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長(zhǎng)度后，得到曲線C₁.
（1）寫出曲線C₁的方程；
（2）證明：曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱.

Answer 1

⑴；⑵證明見解析.

（1）C₁：……………………………………①
（2）分析：要證明曲線C₁與C關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱，只需證明曲線C₁上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C上，反過來(lái)，曲線C上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C₁上即可.
證明：設(shè)P₁（x₁，y₁）為曲線C₁上任意一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)A（，）的對(duì)稱點(diǎn)為
P（t－x₁，s－y₁），把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線C的方程，左=s－y₁，右=（t－x₁）³－（t－x₁）.
由于P₁在曲線C₁上，∴y₁－s=（x₁－t）³－（x₁－t）.
∴s－y₁=（t－x₁）³－（t－x₁），即點(diǎn)P（t－x₁，s－y₁）在曲線C上.
同理可證曲線C上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C₁上.
從而證得曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱.