Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，且，，三點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，另一點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．

（1）求證：、、三點(diǎn)共線(xiàn)；

（2）若直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）8.

【解析】分析：（1）先根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)判定三點(diǎn)與拋物線(xiàn)的位置，再確定三點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線(xiàn)的斜率相等判定三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式進(jìn)行求解．

詳解：（1）由條件，可知，在拋物線(xiàn)上，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．

所以 解得

所以，，，

所以，，所以，

所以、、三點(diǎn)共線(xiàn)．

（2）由條件可知，可設(shè)，

代入，得，

，解得．

設(shè)，，則，

所以 ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，