Question

【題目】在四棱錐中，為正三角形，平面平面，E為的中點(diǎn)，，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)M，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）在棱上存在點(diǎn)M滿足題意，．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，由面面垂直的判定定理證得結(jié)論；

（Ⅱ）取中點(diǎn)，可證得兩兩互相垂直，由此以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量求法可求得結(jié)果；

（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由線面垂直的性質(zhì)可知，，由此得到，解出后即可得到結(jié)果.

（Ⅰ），，，

平面平面，平面底面，平面，

平面，又平面，平面平面.

（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接，

分別為中點(diǎn)，，平面；

為等邊三角形，為中點(diǎn)，，

平面平面，平面底面，平面，

平面，

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量，

則，令，則，，，

設(shè)直線與平面所成角為，.

即直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，則，，

設(shè)，又，，

，，

，解得：，即，

在棱上存在點(diǎn)，使得平面，此時.