Question

若方程2a•9^sinx+4a•3^sinx+a-8=0有解，則a的取值范圍是

8

31

≤a≤

72

23

．

Answer 1

分析：令3^sinx=t，則由sinx∈[-1，1]，得t∈[

1

3

，3]，原方程化為關(guān)于t的一元二次方程，在區(qū)間[

1

3

，3]上有解．然后將方程變形為a=

8

2t 2+4t+1

，討論右邊的函數(shù)在區(qū)間[

1

3

，3]上的值域，可得出a的取值范圍．

解答：解：令3^sinx=t，則由sinx∈[-1，1]，得t∈[

1

3

，3]
原方程變成：2at²+4at+a-8=0，在區(qū)間[

1

3

，3]上面有解
移項(xiàng)，解出a，得a=

8

2t 2+4t+1

因?yàn)?t²+4t+1=2（t+1）²-1，t∈[

1

3

，3]
所以2t²+4t+1∈[

23

9

，31]
因此，

8

2t 2+4t+1

∈[

8

31

，

72

23

]
故答案為：

8

31

≤a≤

72

23

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)型方程的解的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．變量分離，通過討論函數(shù)的值域，是求解本題的關(guān)鍵．