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				設x＞0，求證：sinx+cosx＞1+x－x2.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          證明：設f（x）=sinx+cosx－1－x+x2，
          則f′（x）=cosx－sinx－1+2x，
          只要證f′（x）＞0.
          設g（x）=cosx－sin x－1+2x，
          g′（x）=－sinx－cosx+2=（1－sinx）+（1－cosx）.
          ∵sinx=1時cosx=0，cosx=1時sinx=0，
          ∴1－sinx與1－cosx不能同時為0.
          ∴g′（x）＞0.
          ∴g（x）當x＞0時是增函數(shù).又g（x）在R上是連續(xù)函數(shù)且g（0）=0，
          ∴g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0.
          ∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（0）=0.
          ∴x＞0時，sinx+cosx＞1+x－x2.
          點評：證明f′（x）＞0又引進函數(shù)g（x），這也是通過分析得到的證明思路.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）=exlnx．
          （1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
          （2）設x＞0，求證：f（x+1）＞e2x-1；
          （3）設n∈N*，求證：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設x＞0，求證：
          2x+1
          		3x+1
          ＜
          2(x+1)
          		3x+4
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011-2012學年江西省南昌市高三聯(lián)考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）=exlnx．
          （1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
          （2）設x＞0，求證：f（x+1）＞e2x-1；
          （3）設n∈N*，求證：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2010-2011學年江西省師大附中等重點學校高三聯(lián)考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）=exlnx．
          （1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
          （2）設x＞0，求證：f（x+1）＞e2x-1；
          （3）設n∈N*，求證：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．
          

			
          

			
          
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