Question

【題目】已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式．勤于思考的小紅設(shè)計(jì)了下面兩種解題思路，請(qǐng)你選擇其中一種并將其補(bǔ)充完整．
思路1：先設(shè) 的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出 ， ， ．
猜想： .
然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．證明過(guò)程如下：
①當(dāng) 時(shí)， ， 猜想成立
②假設(shè) （ N*）時(shí)，猜想成立，即 ．
那么，當(dāng) 時(shí)，由已知 ，得 ．
又 ，兩式相減并化簡(jiǎn)，得 （用含 的代數(shù)式表示）．
所以，當(dāng) 時(shí)，猜想也成立．
根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何 N*都成立．
思路2：先設(shè) 的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出 ．
由已知 ，寫出 與 的關(guān)系式： ，
兩式相減，得 與 的遞推關(guān)系式： ．
整理： ．
發(fā)現(xiàn)：數(shù)列 是首項(xiàng)為 ， 公比為的等比數(shù)列．
得出：數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ， 進(jìn)而得到 ．

Answer 1

【答案】["",""," ","",""," "," ",""," ","【解析】思路1.由于 ，令 ，可求出 的值，再令 ，可求出 的值，再令 ，可求出 的值，利用不完全歸納法，歸納猜想出 ，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明, 這是一種“歸納—猜想—證明”思維方式，從特殊到一般的歸納推理方式；思路2.采用構(gòu)造法直接求出數(shù)列得通項(xiàng)公式.

試題解析：思路1.由于 ，令 ， ；令 ， ， ，令 ， ，則

，由此猜想 ；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明過(guò)程如下：

①當(dāng) 時(shí)， ，得 ，符合 ，猜想成立.

②假設(shè) （ N*）時(shí)，猜想成立，即 ,

那么，當(dāng) 時(shí)，由已知 ，得 ,

又 ，兩式相減并化簡(jiǎn)，得 ， （用含 的代數(shù)式表示）．所以，當(dāng) 時(shí)，猜想也成立．

根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何 N*都成立．

思路2. 先設(shè) 的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出 ，

由已知 ，寫出 與 的關(guān)系式： ，

兩式相減，得 與 的遞推關(guān)系式： ，

整理： ，

發(fā)現(xiàn)：數(shù)列 是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．

得出：數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，進(jìn)而得到 ．