Question

【題目】對于定義域為的函數(shù)，若滿足①；②當(dāng)，且時，都有；③當(dāng)，且時， ，則稱為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個函數(shù)：

①； ② ；

③ ； ④．

則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)為__________．

Answer 1

【答案】②④

【解析】由當(dāng)，且時，都有可得或，即條件②等價于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

對于，顯然滿足①，且易證是偶函數(shù)，當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增，因為是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，滿足條件②，由是偶函數(shù)可得當(dāng)，且時， ，故不滿足條件③；

對于，顯然滿足條件①，當(dāng)時， ，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時， ，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則可知在上單調(diào)遞減，故滿足條件②，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，且時， ，不妨設(shè)，則，設(shè)，則， 在上單調(diào)遞減，所以，即，即，所以，即滿足條件③；

對于，易證是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得， 在和上的單調(diào)性相同，故不滿足②；

對于，顯然滿足條件①， ，則，滿足條件②，由的單調(diào)性知當(dāng)時，且時， ，不妨設(shè)，則， ，

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號，所以在上是增函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，滿足條件③；

故答案為②④