Question

設(shè)A是實(shí)數(shù)集，滿足若a∈A，則A，且1A。

（1）若2∈A，則A中至少還有幾個(gè)元素？求出這幾個(gè)元素。

（2）A能否為單元素集合？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）若a∈A，證明：1－∈A。

（4）求證：集合A中至少含有三個(gè)不同的元素。

Answer 1

（1）A中至少還有兩個(gè)元素：－1和。

（2）A不可能是單元素集合，理由見解析。

（3）證明見解析。

（4）證明見解析。

解析:

（1）由2∈A得，－1∈A，同理∈A ，又得2∈A，

∴ A中至少還有兩個(gè)元素：－1和。

（2）如果A為單元素集合，則，

即＝0，該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，A不可能是單元素集。

（3）證明：由a∈A得，∈A ，則∈A，可得出A，即1－∈A。

（4）證明：由（3）知a∈A時(shí)，∈A， 1－∈A 。現(xiàn)在證明a，1－，三數(shù)互不相等。①若a=,即a₂－a+1=0 ，方程無(wú)解，∴a≠；

②若a=1－，即a²-a+1=0，方程無(wú)解，∴a≠1－；

③若1－ =，即a₂-a+1=0，方程無(wú)解，∴1－≠。

綜上所述，集合A中至少有三個(gè)不同的元素。

點(diǎn)評(píng)：（4）的證明中要說(shuō)明三個(gè)數(shù)互不相等，否則證明欠嚴(yán)謹(jǐn)。