Question

某公司生產(chǎn)某種電子儀器，每月的固定成本為20000 元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100 元，已知月銷(xiāo)售收入R（x） （單位：元）與月產(chǎn)量x （單位：臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系為R(x)=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000 ，x＞400.

（1）求月利潤(rùn)f（x） 與月產(chǎn)量x 的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司獲得的月利潤(rùn)最大？最大月利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）月利潤(rùn)f（x）=月銷(xiāo)售收入R（x）-生產(chǎn)儀器增加投入-固定成本；因R（x）是分段函數(shù)，故分別計(jì)算0≤x≤400，x＞400 時(shí)，f（x）的解析式；
（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，所以要分別在0≤x≤400，x＞400 時(shí)，計(jì)算f（x）的最大值，通過(guò)比較得出f（x）在其定義域上的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤400 時(shí)，f(x)=400x-

1

2

x2-20000-100x=-

1

2

x2+300x-20000；
當(dāng)x＞400 時(shí)，f（x）=80000-20000-100x=-100x+60000；     
綜上所述：f(x)=

- 1 2 x2+300x-20000，(0≤x≤400) -100x+60000     (x＞400)

．
（2）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)=-

1

2

(x-300)2+25000，
∴當(dāng)x=300 時(shí)，f（x）_max=25000；                  
當(dāng)x＞400 時(shí)，f（x）=-100x+60000 是減函數(shù)，
∴f（x）＜-100×400+60000=20000；
 綜上所述，當(dāng)x=300 時(shí)，f（x）_max=25000．
所以，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司獲得的月利潤(rùn)最大，其值為25000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用，當(dāng)分段函數(shù)求最值時(shí)，要分別在每一區(qū)間上求出最值，通過(guò)比較得出整個(gè)定義域上的最值．