Question

【題目】已知三次函數(shù)，下列命題正確的是 .

①函數(shù)關(guān)于原點中心對稱；

②以，兩不同的點為切點作兩條互相平行的切線，分別與交于兩點，則這四個點的橫坐標(biāo)滿足關(guān)系；

③以為切點，作切線與圖像交于點，再以點為切點作直線與圖像交于點，再以點作切點作直線與圖像交于點，則點橫坐標(biāo)為；

④若，函數(shù)圖像上存在四點，使得以它們?yōu)轫旤c的四邊形有且僅有一個正方形.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

試題分析：①函數(shù)滿足是奇函數(shù)，所以關(guān)于原點（0,0）成中心對稱，正確；②因為，根據(jù)切線平行，得到,所以,根據(jù)①可知，,以點A為切點的切線方程為,整理得：,該切線方程與函數(shù)聯(lián)立可得，,所以,同理：,又因為，代入關(guān)系式可得，正確；③由②可知，以為切點，作切線與圖像交于點，再以點為切點作直線與圖像交于點，再以點作切點作直線與圖像交于點，此時滿足，,, 所以，所以③錯誤；④當(dāng)函數(shù)為

，設(shè)正方形ABCD的對角線AC所在的直線方程為，設(shè)正方形ABCD的對角線BD所在的直線方程為，，解得：，所以，

同理：，因為

所以

，設(shè)，即，，當(dāng)時，，等價于，解得，或，，所以正方形唯一確定，故正確選項為①②④.

【難點點睛】本題的難點是②和④，計算量都比較大，②的難點是過點A的切線方程與函數(shù)方程聯(lián)立，得到交點C的坐標(biāo)，這個求交點的過程需要計算能力比較好才可以求解出結(jié)果；④的難點是需根據(jù)正方形的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，這種化歸與轉(zhuǎn)化會讓很多同學(xué)感覺無從下手，同時運(yùn)算量也比較大，稍有疏忽，就會出錯，所以平時訓(xùn)練時，帶參數(shù)的化簡需所練習(xí).