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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          ax3+
          1
          2
          bx2+cx

          (Ⅰ)若函數(shù)f(x)有三個零點x1,x2,x3,且x1+x2+x3=
          9
          2
          ,x2x3=6,f(-1)=
          5
          6
          ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)若f′(1)=-
          1
          2
          a
          ,3a>2c>2b,求證:導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點;
          (Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若導(dǎo)函數(shù)f'(x)的兩個零點之間的距離不小于
          3
          ,求
          b
          a
          的取值范圍.
          分析:(I)因為f(x)=x(
          1
          3
          ax2+
          1
          2
          bx+c)
          ,因為x2,x3是方程
          1
          3
          ax2+
          1
          2
          bx+c=0
          的兩根,使用根與系數(shù)的關(guān)系,再由f(1)=
          5
          6
          ,求出b、a、c 的值,得到f(x)的 解析式及f'(x)的解析式,由f'(x)<0求出減區(qū)間.
          (Ⅱ) 求出f′(1)=-
          1
          2
          a
          ,f'(0)=c,f'(2)=a-c,當(dāng)c>0時 f'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點,當(dāng)c≤0時,f'(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一零點.
          (Ⅲ)設(shè)m,n是導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ax2+bx+c的兩個零點,由|m-n|≥
          3
          ,及 3a>2c>2b,a>0 求出
          b
          a
          的取值范圍.
          解答:解:(I)因為f(x)=x(
          1
          3
          ax2+
          1
          2
          bx+c)
          ,又x1+x2+x3=
          9
          2
          ,x2x3=6
          ,則x1=0,x2+x3=
          9
          2
          ,x2x3=6

          因為x2,x3是方程
          1
          3
          ax2+
          1
          2
          bx+c=0
          的兩根,則-
          3b
          2a
          =
          9
          2
          ,
          3c
          a
          =6
          .即b=-3a,c=2a.
          f(1)=
          5
          6
          ,即
          1
          3
          a+
          1
          2
          b+c=
          5
          6
          ,所以,
          1
          3
          a-
          3
          2
          a+2a=
          5
          6
          ,即a=1,從而b=-3,c=2.
          所以,f(x)=
          1
          3
          x3-
          3
          2
          x2+2x
          .  因為f'(x)=x2-3x+2,由x2-3x+2<0,得1<x<2.
          故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1),(2+∞).
          (Ⅱ)因為f'(x)=ax2+bx+c,f′(1)=-
          1
          2
          a
          ,所以a+b+c=-
          1
          2
          a
          ,即3a+2b+2c=0.
          因為3a>2c>2b,所以3a>0,2b<0,即a>0,b<0.
          于是f′(1)=-
          a
          2
          <0
          ,f'(0)=c,f'(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.
          (1)當(dāng)c>0時,因為f′(0)=c>0,f′(1)=-
          a
          2
          <0
          ,則f'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點.
          (2)當(dāng)c≤0時,因為f′(1)=-
          a
          2
          <0,f′(2)=a-c>0
          ,則f'(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一零點.
          故導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點.
          (Ⅲ)設(shè)m,n是導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ax2+bx+c的兩個零點,則m+n=-
          b
          a
          ,mn=
          c
          a
          =-
          3
          2
          -
          b
          a

          所以|m-n|=
          (m+n)2-4mn
          =
          (-
          b
          a
          )
          2
          -4(-
          3
          2
          -
          b
          a
          )
          =
          (
          b
          a
          +2)
          2
          +2

          由已知,
          (
          b
          a
          +2)
          2
          +2
          3
          ,則(
          b
          a
          +2)2+2≥3
          ,即(
          b
          a
          +2)2≥1

          所以
          b
          a
          +2≥1或
          b
          a
          +2≤-1
          ,即
          b
          a
          ≥-1
          b
          a
          ≤-3

          又2c=-3a-2b,3a>2c>2b,所以,3a>-3a-2b>2b,即 -3a<b<-
          3
          4
          a

          因為a>0,所以-3<
          b
          a
          <-
          3
          4

          綜上分析,
          b
          a
          的取值范圍是[-1,-
          3
          4
          )
          點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點的判斷,二次函數(shù)的性質(zhì)與不等式性質(zhì)的應(yīng)用.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時滿足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案