Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明是上的偶函數(shù)

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由 ，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得是上的偶函數(shù)；（2）利用參數(shù)分離法，將不等式，在上恒成立，進行轉(zhuǎn)化為對任意恒成立 ,利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求從實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因為對任意,都有 ，

所以是R上的偶函數(shù).

（2）由條件知在上恒成立,

令，則對任意 ,

所以對任意成立 ,

由對勾函數(shù)的單調(diào)性知 ,

所以 ,

因此，實數(shù)的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ① 求得實數(shù)的取值范圍.