Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，要使函數(shù)Y=5cox（-）（k∈N^*）在區(qū)間[a，a+3]上的值出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)一個(gè)周期有且只有2個(gè)不同的自變量使其函數(shù)值為 ，故出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，得到該函數(shù)在此區(qū)間上至少2個(gè)周期，至多4個(gè)周期，由區(qū)間的長(zhǎng)度為3，列出關(guān)于周期T的不等式組，再找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的周期T，將求出的T代入不等式組得到關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集中的正整數(shù)解即可得到k的值．
解答：解：函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有且只有2個(gè)不同的自變量使其函數(shù)值為 ，
因此該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長(zhǎng)度為3）上至少有2個(gè)周期，至多有4個(gè)周期，
因此，即 ，
又∵ω=π，∴T=，
∴，
解得 ，又k∈N，
則k=2或3．
故答案為：2或3
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)題意得出該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長(zhǎng)度為3）上至少有2個(gè)周期，至多有4個(gè)周期是本題的突破點(diǎn)，將所求的k的值進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，列出關(guān)于k的不等式是解決本題的關(guān)鍵，充分利用函數(shù)的周期性和區(qū)間長(zhǎng)度的關(guān)系，注意不等式思想的運(yùn)用．