Question

如圖已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸是短軸的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2,1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0）,且交橢圓于A、B兩點(diǎn).

　 （1）求橢圓的方程；

　 （2）求m的取值范圍；

　 （3）求證：直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形。

Answer 1

（1）設(shè)橢圓方程為（a>b>0）

則     ∴橢圓方程      --------------3分

（2） ∵直線∥DM且在y軸上的截距為m，∴y=x+m

由

∵與橢圓交于A、B兩點(diǎn)

∴△=（2m）²-4（2m²-4）>0-2<m<2（m≠0）              -----------------7分 

（3）設(shè)直線MA、MB斜率分別為k₁,k₂，則只要證：k₁+k₂=0

設(shè)A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,則k₁=,k₂=

由x²+2mx+2m²-4=0得x₁+x₂=-2m,x₁x₂=2m²-4                 ---------------9分

而k₁+k₂=+= （*）

又y₁=x₁+m  y₂=x₂+m

∴（*）分子=（x₁+m-1）（x₂-2）+（ x₂+m -1）（x₁-2）

=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）

=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1） =0

∴k₁+k₂=0,                                           --------------------13分