Question

已知函數(shù)滿(mǎn)足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=l，a_n+1=f(a_n)≠l，n∈N*，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ)定義，對(duì)于(Ⅱ)中的數(shù)列{a_n}，令，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：S_n＞ln(n+1)．

Answer 1

解：(Ⅰ)由，得，
又有且僅有一個(gè)解，即有唯一解滿(mǎn)足，且，
∵a≠0，
∴當(dāng)時(shí)，b=1，x=0，
則，此時(shí)，
又當(dāng)時(shí)，，
因此，
所以，，
則a=1，此時(shí)，，
綜上所述，或者。
(Ⅱ)，
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
則，
∴，
則。
 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，，
∴，則，
所以，，
設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為，
則，
當(dāng)n≥2時(shí)，，
要證明，
令，只要證明，其中t＞1，
令，
則，
所以，在上是增函數(shù)，
則當(dāng)x＞1時(shí)，，即，
所以，，
則。
說(shuō)明：也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，為此，先證明，
即證：lnt＜t-1，其中t>l。