Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)單調(diào)性并證明；

（3）對任意不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見詳解；（2）增函數(shù)，證明見詳解；（3）.

【解析】

（1）先判斷函數(shù)的定義域，然后再分析之間的關(guān)系，從而判斷出的奇偶性；

（2）利用定義法證明的單調(diào)性即可；

（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式變形，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康牟坏汝P(guān)系，再根據(jù)恒成立的思想求解出的取值范圍.

（1）因為的定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又因為，所以是奇函數(shù)；

（2）是上的增函數(shù)，證明如下：

任取且，

所以

，

因為，所以，所以，所以，

所以是上的增函數(shù)；

（3）因為為奇函數(shù)且，

所以，

又因為是上的增函數(shù)，所以，

所以對成立，

所以，所以，

所以.