Question

設a為實數，記函數f(x)=的最大值為g(a).

（1）設t=，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t);

（2）求g(a);

（3）試求滿足g(a)=g()的所有實數a.

Answer 1

解:（1）∵t=，∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∵t²=2+∈［2,4］,t≥0①

∴t的取值范圍是［,2］.由①得t²-1,

∴m(t)=a(t²-1)+t=at²+t-a,t∈［,2］.

（2）由題意知，g(a)即為函數m(t)= at²+t-a,t∈［,2］的最大值.

注意到直線t=-是拋物線m(t)= at²+t-a的對稱軸，分以下幾種情況討論.

①當a＞0時，函數y=m(t),t∈［,2］的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由t=-＜0知，m(t)在［,2］上單調遞增，

∴g(a)=m(2)=a+2.

②當a=0時，m(t)=t,t∈［,2］,∴g(a)=2.

③當a＜0時,函數y=m(t),t∈［,2］的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若t=-∈(0, )，即a≤-,則g(a)=m()=.

若t=-∈(,2)，即-＜a≤-,則g(a)=m(-)=-a-.

若t=-∈(2,+∞)，即-＜a＜0,

則g(a)=m(2)=a+2.

綜上，g(a)=

（3）解法1：

情形1：當a＜-2時, ＞-，此時g(a)=，g()=+2.

由2+=，解得a=-1-，與a＜-2矛盾.

情形2：當-2≤a＜-時，-＜≤-時，此時g(a)= ,g()=--,由=--,解得a=-與a＜-矛盾.

情形3：當-≤a≤-時，-≤≤-，此時g(a)= =g().

所以-≤a≤-.

情形4：當-＜a≤-時，-2≤＜-，此時g(a)=-a-，

g()=,由-a-=,解得a=-,與a＞-矛盾.

情形5：當- ＜a＜0時，＜-2，此時g(a)=a+2,g()=.

由a+2=,解得a=-2,與a＞-矛盾.

情形6：當a＞0時，＞0，此時g(a)=a+2,g()=+2,

由a+2=+2，解得a=±1,由a＞0知a=1.

綜上知，滿足g(a)=g()的所有實數a為-≤a≤-或a=1.