Question

設a為實數(shù)，記函數(shù)f(x)=asin2x+

2

sin(x+

π

4

)(x∈R)的最大值為g（a）．
（1）若a=

1

2

，解關于求x的方程f（x）=1；
（2）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）當a=

1

2

，由方程f（x）=1，可得sinxcosx+sinx+cosx=1．令t=sinx+cosx，則t²=1+2sinxcosx，方程可化為 t²+2t-3=0，解得t=1，即sinx+cosx=1，即 sin(x+

π

4

)=

2

2

，由此求得x的值的集合．
（2）由題意可得t的取值范圍是[-

2

，

2

]，g（a）即為函數(shù)m（t）=at²+t-a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．直線t=-

1

2a

是拋物線m（t）的對稱軸，可分a＞0、a=0、a＜0三種情況，分別求得g（a）．

解答：解：（1）由于當a=

1

2

，方程f（x）=1，即 

1

2

sin2x+

2

sin(x+

π

4

)=1，即 sinxcosx+

2

[sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

]=1，
所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分
令t=sinx+cosx，則t²=1+2sinxcosx，所以sinxcosx=

1

2

(t2-1)．…3分
所以 方程（1）可化為 t²+2t-3=0，解得t=1，t=-3（舍去）．…5分
所以 sinx+cosx=1，即 sin(x+

π

4

)=

2

2

，
解得所求x的集合為{x|x=2kπ，2kπ+

π

2

k∈Z}．…7分
（2）令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，∴t的取值范圍是[-

2

，

2

]．
由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=at²+t-a，t∈[-

2

，

2

]的最大值，…9分
∵直線t=-

1

2a

是拋物線m（t）=at²+t-a的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
①當a＞0時，函數(shù)y=m（t），t∈[-

2

，

2

]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

2a

＜0知m（t）在t∈[-

2

，

2

]上單調遞增，故g（a）=m(

2

)=a+

2

．…11分
②當a=0時，m（t）=t，t∈[-

2

，

2

]，有g（a）═

2

；…12分
③當a＜0時，函數(shù)y=m（t），t∈[-

2

，

2

]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-

1

2a

∈(0，

2

]，即a≤-

2

4

時，g（a）=m(-

1

2a

)=-a-

1

4a

，…13分
若t=-

1

2a

∈(

2

，+∞)，即a∈(-

2

4

，0)時，g（a）=m(

2

)=a+

2

．…15分
綜上所述，有g(a)=

a+ 2 ，a≥- 2 4 -a- 1 4a ，a＞- 2 4

．…16分．

點評：本題主要考查兩角和差的三角公式、二倍角公式的應用，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．