Question

已知函數(shù)f（x）=loga(

x-5

x+5

)和函數(shù)g（x）=1+log_a（x-3）其中a＞0且a≠1，
（1）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有實(shí)根，求a的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求解兩個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）把函數(shù)解析式代入方程f（x）=g（x），去掉對(duì)數(shù)符號(hào)后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用對(duì)稱軸的位置分類分析求解a的范圍．

解答：解：（1）由題意得

x-5

x+5

＞0，即（x-5）（x+5）＞0，解得x＜-5或x＞5；
同理，由x-3＞0，解得x＞3．
故f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜-5或x＞5}，g（x）的定義域?yàn)閧x|x＞3}；
（2）由關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有實(shí)根，
即loga

x-5

x+5

=1+loga(x-3)有實(shí)根，也就是loga

x-5

x+5

=loga(x-3)有實(shí)根，
則

x-5

x+5

=a(x-3)在（5，+∞）內(nèi)有實(shí)根．
整理得ax²+（2a-1）x-15a+5=0．
由題意得a＞0且a≠1．
則

1-2a 2a ＞5 (2a-1)2-4a(5-15a)≥0

①或

1-2a 2a ≤5 (2a-1)2-4a(5-15a)＞0 25a+5(2a-1)-15a+5＜0

②
解①得，a∈∅；
解②得，a∈∅．
故不存在實(shí)數(shù)a使得關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中高檔題．