Question

已知圓C：（x+1）²+（y-2）²=4
（1）若直線l：y=k（x-2）與圓C有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）（文科）若過（2，0）的直線m被圓C截得的弦長為

14

，求直線m的方程；
（2）（理科）若斜率為1的直線m被圓C截得的弦AB滿足OA⊥OB（O是坐標(biāo)原點），求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）將直線圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可解出；
（2）（文科）由條件設(shè)出直線的方程，由弦長l=2

r2-d2

，再利用點到直線的距離公式求出d即可；
（2）（理科）設(shè)出直線m的方程及兩交點的坐標(biāo)，直線l的方程與圓的方程聯(lián)立，可得△＞0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁與x₂式子；另一方面由已知OA⊥OB，利用數(shù)量積等于0，得出x₁與x₂式子，進(jìn)而即可得出答案．

解答：解：（1）∵直線l與圓C有公共點，∴圓心C（-1，2）到直線l的距離d≤r=2．
∴d=

|-k-2-2k|

k2+1

≤2?|3k+2|≤2

k2+1

，
兩邊平方并整理得5k²+12k≤0，∴-

12

5

≤k≤0．
即k得取值范圍是k∈[-

12

5

，0]．
（2）（文科）設(shè)直線m的斜率為k，則直線m的方程為y=k（x-2），
由弦長l=2

r2-d2

，得

14

=2

4-( |3k+2| k2+1 )2

，
兩邊平方并整理得17k²+24k+7=0，
解得k=-1，或k=-

7

17

，且都在[-

12

5

，0]范圍內(nèi)，即都適合題意．
所求的直線m的方程為：y=-（x-2）或y=-

7

17

(x-2)．
即x+y-2=0，或7x+17y-14=0．
（2）（理科）由題意設(shè)所求的直線m的方程為：y=x+t，設(shè)圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=x1x2+(x1+x2)t+t2，代入上式得2x1x2+(x1+x2)t+t2=0．（?）
聯(lián)立

y=x+t (x+1)2+(y-2)2=4

消去y并整理得2x²+（2t-2）x+t²-4t+1=0．
∵直線與圓有兩個交點，∴△＞0，即（2t-2）²-8（t²-4t+1）＞0．
化為t²-6t+1＜0．解得3-2

2

＜t＜3+2

2

．（⊕）
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=1-t，x1x2=

t2-4t+1

2

．
將上兩式代入（?）式得t²-4t+1+t（1-t）+t²=0，
t²-3t+1=0，解得t=

3± 5

2

，滿足（⊕）式．
故所求的直線m的方程為y=x+

3± 5

2

．

點評：本題綜合考查了直線與圓相交時的弦長及滿足某些條件（垂直）的問題，將直線方程與圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程的△＞0、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、數(shù)量積為0、點到直線的距離公式等是解題的關(guān)鍵．