Question

【題目】已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，證明：；

（2）若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出最小值，即可證明；

（2）令，由時(shí)，都有，可得在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)判斷在的單調(diào)性，分別討論和兩種情況，即可得到的取值范圍.

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，

所以，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以在時(shí)取得極小值，也是最小值.

所以.

（2）令，，

由時(shí)，都有，所以在上恒成立.

由，令，

則在上恒成立.

所以在上單調(diào)遞增，又，

①當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，滿(mǎn)足題意.

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

所以，

存在，使得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，這與在上恒成立矛盾.

綜上所述，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍.