Question

如圖平面四邊形ABCD中，AB=AD=a，BC=CD=BD 設(shè)∠BAD=θ
（I）將四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數(shù)．
（II）求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)θ值．

Answer 1

分析：（I）在△BAD中，由余弦定理求BD，從而可求四邊形ABCD的面積；
（II）將四邊形的面積化簡，確定角的范圍，利用三角函數(shù)的圖象，即可求得四邊形ABCD面積S的最大值．

解答：解：（I）在△BAD中，由余弦定理可得BD=

a2+a2-2a2cosθ

=

2a2(1-cosθ)

∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

a2sinθ+

3

4

×[2a²（1-cosθ）]=

3

2

a2+a²（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）
=

3

2

a2+a²sin（θ-

π

3

）（0＜θ＜π）
（II）∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

∴-

3

2

＜sin（θ-

π

3

）≤1
當(dāng)且僅當(dāng)θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

時(shí)，sin（θ-

π

3

）取得最大值1
四邊形ABCD面積S的最大值為

3

2

a2+a²，此時(shí)θ=

5π

6

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)知識，考查余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．