Question

已知

a

=(2sinωx，cosωx)，

b

=(

3

cosωx，2cosωx)(ω＞0)，f(x)=

a

•

b

，f(x)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的公式可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

）+1，又可得

T

2

=

π

2

，由周期公式可得ω的值；
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由于當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，得到f（x）的范圍，即得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx
=

3

sin2ωx+cos2ωx+1
=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
∴函數(shù)的周期為T=

2π

2ω

=

π

ω

．
又由圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

，
則

π ω

2

=

π

2

，解得ω=1；
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
由于當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
得到f（x）∈[0，3]
故f（x）的值域為[0，3]．

點評：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，涉及向量的數(shù)量積的運算，屬中檔題．