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        1. 如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線與橢圓的交點分別為.

          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程;

          (Ⅱ)設直線、的斜率分別為、,證明;

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

           

           

           

          【答案】

          Ⅰ)設橢圓的半焦距為c,由題意知: ,2a+2c=4(+1)

          所以a=2,c=2,又=,因此b=2。

          故 橢圓的標準方程為

          由題意設等軸雙曲線的標準方程為,因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點。

          所以m=2,因此 雙曲線的標準方程為      ……………4分

          (Ⅱ)設A(,),B(),P(),

          =,。

          因為點P在雙曲線上,所以。

          因此

                      ……………………8分

          (Ⅲ)由于的方程為,將其代入橢圓方程得

          由韋達定理得

          同理可得.

          則  ,又  ,所以  .

          故 

          因此  存在,使恒成立.

          【解析】略

           

          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (本小題滿分12分)

          如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線與橢圓的交點分別為.

          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程;

          (Ⅱ)設直線的斜率分別為、,證明;

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (本小題滿分13分)

            如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的

            左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢

            圓的焦點,設為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線與橢圓的交點

            分別 為

             (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程; 

             (Ⅱ)設直線、的斜率分別為,證明;

             (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?

                若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

                                                                       

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          科目:高中數(shù)學 來源:2012屆山西大學附中高三4月月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

          (本小題滿分12分)如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線與橢圓的交點分別為.

          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程;

          (Ⅱ)設直線的斜率分別為、,證明;

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

           

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          科目:高中數(shù)學 來源:2013屆廣東省高二下期中文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點平行于的直線軸上的截距為,與橢圓有A、B兩個

          不同的交點

             (Ⅰ) 求橢圓的方程;

              (Ⅱ)  求的取值范圍;                              

             (III)求證:直線軸始終圍成一個等腰三角形.

           

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          科目:高中數(shù)學 來源:2013屆度黑龍江龍東地區(qū)第一學期高二期末理科數(shù)學試卷 題型:解答題

          如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設P為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線PF1和PF2與橢圓的焦點分別為A、B和C、D。

          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程

          (Ⅱ)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立?若存在,求的值,若不存在,請說明理由。

           

           

           

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