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        1. 如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線與橢圓的交點(diǎn)分別為.

          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

           

           

           

          【答案】

          Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意知: ,2a+2c=4(+1)

          所以a=2,c=2,又=,因此b=2。

          故 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

          由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)。

          所以m=2,因此 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為      ……………4分

          (Ⅱ)設(shè)A(),B(),P(),

          =,

          因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上,所以。

          因此

                      ……………………8分

          (Ⅲ)由于的方程為,將其代入橢圓方程得

          由韋達(dá)定理得

          同理可得.

          則  ,又  ,所以  .

          故 

          因此  存在,使恒成立.

          【解析】略

           

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          如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線與橢圓的交點(diǎn)分別為.

          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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            如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的

            左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢

            圓的焦點(diǎn),設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線與橢圓的交點(diǎn)

            分別 為

             (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程; 

             (Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;

             (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?

                若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

                                                                       

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          (本小題滿分12分)如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線與橢圓的交點(diǎn)分別為.

          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (Ⅱ)設(shè)直線、的斜率分別為、,證明;

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

           

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          不同的交點(diǎn)

             (Ⅰ) 求橢圓的方程;

              (Ⅱ)  求的取值范圍;                              

             (III)求證:直線、軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

           

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          (Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

          (Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1

          (Ⅲ)是否存在常數(shù),使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立?若存在,求的值,若不存在,請(qǐng)說明理由。

           

           

           

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