Question

已知圓C：（x+1）²+y²=2，過點A（1，0）的直線l將圓C的圓周分成兩段弧，且兩段弧長之比為1：3，則直線l的斜率為

±

3

3

．

Answer 1

分析：設(shè)過A的直線方程為y=k（x-1），根據(jù)過點A（1，0）的直線l將圓C的圓周分成兩段弧，且兩段弧長之比為1：3，得到

DE

度數(shù)為90°，即三角形DCE為等腰直角三角形，由CF垂直于DE得到CF為斜邊上的中線，求出CF的長，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：設(shè)過A（1，0）的直線l方程為y=k（x-1），
∵過點A（1，0）的直線l將圓C的圓周分成兩段弧，且兩段弧長之比為1：3，
∴

DE

度數(shù)為90°，即∠DCE=90°，
∴△DCE為等腰直角三角形，且DC=EC=

2

，
∴根據(jù)勾股定理得：DE=

DC2+CE2

=2，
∵CF⊥DE，即CF為斜邊上的中線，
∴CF=

1

2

DE=1，
即圓心C（-1，0）到直線y=k（x-1）的距離d=1，即

|-2k|

k2+1

=1，
解得：k=±

3

3

．
故答案為：±

3

3

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意得出△DCE為等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．