Question

【題目】兩個(gè)數(shù)列、，當(dāng)和同時(shí)在時(shí)取得相同的最大值，我們稱與具有性質(zhì)，其中.

（1）設(shè)的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；同樣地，的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；判別與是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說明理由；

（2）數(shù)列的前項(xiàng)和是，數(shù)列的前項(xiàng)和是，若與具有性質(zhì)，，則這樣的數(shù)列一共有多少個(gè)？請(qǐng)說明理由；

（3）兩個(gè)有限項(xiàng)數(shù)列與滿足，，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得與具有性質(zhì)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）不具有；見解析（2）102；見解析（3）見解析，.

【解析】

（1）展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為，然后再判斷展開式中的系數(shù)是否是最大值，即可得結(jié)果；

（2）令，則，結(jié)合，求得，求得的最大值，由與具有性質(zhì)，可得時(shí)，，由，結(jié)合求得的范圍，再由是等差數(shù)列，可得，然后聯(lián)立，解出數(shù)列的個(gè)數(shù)；

（3）由進(jìn)行迭代，可得，因?yàn)?/span>與具有性質(zhì)，

所以，從而可

解：（1）展開式的通項(xiàng)為，則數(shù)列的通項(xiàng)為

故數(shù)列中的最大值為

展開式的通項(xiàng)為，

而當(dāng)時(shí)，得，

所以與不具有性質(zhì)

（2）令，則，

由，即，

解得，

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，,

因?yàn)?/span> 與具有性質(zhì)，

所以時(shí)，，

因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

由，解得共有102個(gè)數(shù)列；

（3）因?yàn)?/span>，

當(dāng)，時(shí)，

所以

當(dāng)時(shí)，符合上式

所以，

因?yàn)?/span>與是有限項(xiàng)數(shù)列，所以一定存在最大項(xiàng)，

設(shè)，因?yàn)?/span>與具有性質(zhì)，

所以，

顯然成立，

假設(shè)，則顯然，矛盾

同理，也矛盾，

所以