Question

設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是單調(diào)的函數(shù)，則滿足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有的x的和為

 

．

Answer 1

分析：f（x）為偶函數(shù)?f（-x）=f（x），x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)?f（x）不是周期函數(shù)．所以若f（a）=f（b）?a=b或a=-b，再結(jié)合已知條件可得正確答案．

解答：解：∵f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)
∴若 f(x)=f(

x+3

x+4

)時(shí)，即 x=

x+3

x+4

或 -x=

x+3

x+4

，
得x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
此時(shí)x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5．
∴滿足 f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和為-3+（-5）=-8，
故答案為-8．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．解決此類(lèi)題型要注意變換自變量與函數(shù)值的關(guān)系，還要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用．