Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx在x=-

2

3

與x=1處都取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間及極大值、極小值．

Answer 1

分析：（I）根據所給的函數的解析式，對函數求導，使得導函數等于0，得到關于a，b的關系式，解方程組即可，寫出函數的解析式．
（II）對函數求導，寫出函數的導函數等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導函數和函數的單調性情況，做出極值，把極值同端點處的值進行比較得到結果．

解答：解：（I）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-

1

2

，b=-2                    
經檢驗，a=-

1

2

，b=-2符合題意；
（II）由（I）得所求的函數解析式為f（x）=x3-

1

2

x2-2x；
f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-

2

3

），（1，+∞）遞減區(qū)間為（-

2

3

，1），
極大值為f（x）_極大值=f（-

2

3

）=

22

27

，極小值為f（1）_極小值=-

3

2

．

點評：考查學生利用導數求函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及掌握函數在某點取得極值的條件．