Question

【題目】

已知函數(shù)，且。

（I）試用含的代數(shù)式表示；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)。

Answer 1

【答案】（I）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

（Ⅲ）證明見(jiàn)解析。

【解析】

試題（Ⅰ）從導(dǎo)數(shù)出發(fā)，利用即得與的關(guān)系式：（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分布情況：因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：，，因此需分三種情況進(jìn)行討論，此時(shí)最容易遺漏相等的情況（Ⅲ）先根據(jù)極值求出、的坐標(biāo)，再聯(lián)立方程確定線段MN與曲線的交點(diǎn)，由易得，因此線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)

試題解析：解：（Ⅰ）依題意得，由得…2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

故，令，則或

①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表

可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，。

由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，

函數(shù)在處取得極值，故

直線的方程為

由得

令，易得

的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)