Question

已知邊長(zhǎng)為4

2

的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點(diǎn)，PA⊥面ABC，且PA=2，設(shè)平面α過(guò)PF且與AE平行，則AE與平面α間的距離為

2 3

3

．

Answer 1

分析：先作出平面α過(guò)PF且與AE平行，設(shè)H為DF的中點(diǎn)，再作AK⊥PH，則AK⊥面PDF，AK就是AE與平面α的距離，利用等面積可求AE與平面α間的距離．

解答：解：由題意，延長(zhǎng)BA到D，使AD=EF=0.5AB，則四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AE∥DF，則面PDF為α．
∵AE?α，DF?α，
∴AE∥α，
設(shè)H為DF的中點(diǎn)，AD=AF=2

2

，
∴AH⊥DF，
∵PA⊥面ABC，由三垂線逆定理，DF⊥PH，
∴DF⊥面PAH，
∵DF⊆面PDF
∴面PDF⊥面PAH，
作AK⊥PH，則AK⊥面PDF，AK就是AE與平面α的距離．
∵AH=0.5AD=

2

，AD=2，
∴PH=

6

，AK=

AH×AP

PH

=

2 3

3

∴AE與平面α的距離為

2 3

3

故答案為：

2 3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是線面距離，解題的關(guān)鍵是作出滿(mǎn)足題意的平面，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離求解．