Question

【題目】設函數(shù).

（1）求的單調區(qū)間；

（2）設函數(shù)，若當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）

【解析】

（1）求出定義域、，分，兩種情況進行討論，通過解不等式，可得單調區(qū)間；

（2）令，則，則問題轉化為當時，恒成立，進而轉化求函數(shù)的最大值問題．求導數(shù)，根據(jù)極值點與區(qū)間的關系進行討論可求得函數(shù)的最大值；

（1）解：因為，其中.所以，

當時，，所以在上是增函數(shù).

當時，令，得，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）令，則，

根據(jù)題意，當時，恒成立.

所以，

①當時，時，恒成立.

所以在上是增函數(shù)，且時，，

所以當時，不會恒成立，故不符題意.

②當時，時，恒成立.

所以在上是增函數(shù)，且，時，，

所以當時，不會恒成立，故不符題意.

③當時，時，恒有，故在上是減函數(shù)，

于是“對任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故.

綜上所述，的取值范圍是.