Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)為M，連ME，MF．…1分

∵E是PC的中點(diǎn)

∴ME是△PCD的中位線，

∴ME平行且等于 ．

∵F是AB中點(diǎn)且ABCD是菱形，

∴AB平行且等于CD，

∴ME平行且等于 ．

∴ME平行且等于FB

∴四邊形MEBF是平行四邊形．從而 BE∥MF．

∵BE平面PDF，MF平面PDF，

∴BE∥平面PDF．

（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，∴DF⊥PA．連接BD，

∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．

∵F是AB的中點(diǎn)，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則P（0，0，1），C（ ，3，0），D（0，2，0），F(xiàn)（ ， ，0）

易知 =（ ，﹣ ，0）是平面PAB的一個法向量．

設(shè)平面PCD的一個法向量為

由 ，

可取 ，

設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳角為θ，則cosθ= =

故平面PAB與平面PCD所成的銳角為60°．

【解析】（1）取PD中點(diǎn)為M，連ME，MF，根據(jù)中位線性質(zhì)可得ME平行且等于 C D，根據(jù)邊的大小關(guān)系可得出四邊形MEBF是平行四邊形，從而 BE∥MF，進(jìn)而得到BE∥平面PDF，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用法向量，求出二面角的大小.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．