【題目】橢圓
的焦點(diǎn)是
，
，且過(guò)點(diǎn)
．
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)
的直線
與橢圓相交于
、
兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn)．問(wèn)橢圓上是否存在點(diǎn)
，使線段
和線段
相互平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）
y2＝1； （2）存在，P（﹣1，
）
【解析】
（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)及過(guò)的點(diǎn)和
，
，
之間的關(guān)系求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)
使線段
和線段
相互平分，設(shè)直線
與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，進(jìn)而求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由題意求出的坐標(biāo)用參數(shù)表示，由在橢圓上，求出參數(shù)進(jìn)而求出的坐標(biāo)．
解：（1）由題意知
，
，
，解得：
，
，橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程：
；
（2）由（1）知
，假設(shè)存在點(diǎn)
，
，使線段和線段相互平分，由題意知直線
的斜率不為零，設(shè)直線的方程為：
，設(shè)
，
，
聯(lián)立與橢圓的方程整理得：
，
，
，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)
，
由題意知
，
，而在橢圓上，所以
，解得：
，所以
，
所以存在點(diǎn)使線段和線段相互平分，且的坐標(biāo)
．
數(shù)學(xué)奧賽暑假天天練南京大學(xué)出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學(xué)出版社系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱性有如下結(jié)論：對(duì)于給定的函數(shù)
，如果對(duì)于任意的
都有
成立
為常數(shù)），則函數(shù)
關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱．
（1）用題設(shè)中的結(jié)論證明：函數(shù)
關(guān)于點(diǎn)
；
（2）若函數(shù)既關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，且當(dāng)
時(shí)，
，求：①
的值；
②當(dāng)
時(shí)，的表達(dá)式．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，OA、OB、OC所在直線兩兩垂直，且
，CA與平面AOB所成角為
，D是AB中點(diǎn)，三棱錐的體積是
．
（1）求三棱錐的高；
（2）在線段CA上取一點(diǎn)E，當(dāng)E在什么位置時(shí)，異面直線BE與OD所成的角為
？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在邊長(zhǎng)為
的等邊三角形
中，點(diǎn)
分別是邊
上的點(diǎn)，滿足
且
，將
沿直線
折到
的位置. 在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論成立的是（ ）
A.在邊
上存在點(diǎn)
，使得在翻折過(guò)程中，滿足
平面
B.存在
，使得在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿足平面
平面
C.若
，當(dāng)二面角
為直二面角時(shí)，
D.在翻折過(guò)程中，四棱錐
體積的最大值記為
，的最大值為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)f(x)是定義在R 且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間
上， 
其中集合D=
，則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是____________
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，其中
為正實(shí)數(shù).
(1)若不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
(2)當(dāng)
時(shí)，證明
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系上，有一點(diǎn)列
，設(shè)點(diǎn)
的坐標(biāo)
（
），其中
． 記
，
，且滿足
（
）．
（1）已知點(diǎn)
，點(diǎn)
滿足
，求的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)，
（），且
（）是遞增數(shù)列，點(diǎn)
在直線
：
上，求
；
（3）若點(diǎn)
的坐標(biāo)為
，
，求
的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，點(diǎn)A為該橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)
的直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，當(dāng)
軸時(shí)，三角形ABC的面積為18．
求橢圓的方程；
如圖，當(dāng)動(dòng)直線BC斜率存在且不為0時(shí)，直線
分別交直線AB，AC于點(diǎn)M、N，問(wèn)x軸上是否存在點(diǎn)P，使得
，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程
（
為參數(shù)）.直線
的參數(shù)方程
（
為參數(shù)）.
（Ⅰ）求曲線在直角坐標(biāo)系中的普通方程；
（Ⅱ）以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)曲線截直線所得線段的中點(diǎn)極坐標(biāo)為
時(shí)，求直線的傾斜角.
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