Question

（2011•福建模擬）已知函數(shù)f（x）滿足：
①定義域為R；
②?x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③當x∈[0，2]時，f（x）=2-|2x-2|．記φ(x)=f(x)-

|x|

(x∈[-8，8])．
根據(jù)以上信息，可以得到函數(shù)φ（x）的零點個數(shù)為（　�。�

A．15

B．10

C．9

D．8

Answer 1

分析：根據(jù)條件：③當x∈[0，2]時，f（x）=2-|2x-2|可以作出函數(shù)圖象位于[0，2]的拆線，再由?x∈R，有f（x+2）=2f（x），可將圖象向右伸長，每向右兩個單位長度，縱坐標變?yōu)樵瓋杀�，由此可以作出f（x）的圖象，找出其與g(x)=

|x|

(x∈[-8，8])的交點，就可以得出φ（x）的零點，問題迎刃而解．

解答：解：根據(jù)題意，作出函數(shù)y=f（x）（-8≤x≤8）的圖象：

 在同一坐標系里作出g(x)=

|x|

(x∈[-8，8])的圖象，可得兩圖象在x軸右側(cè)有8個交點．
所以φ(x)=f(x)-

|x|

(x∈[-8，8])有8個零點，
∵任意的x，有f（x+2）=2f（x），
∴當x=-1時，f（-1+2）=2f（-1）⇒f（-1）=

1

2

f（1）=1，滿足φ（x）=f(x)-

|x|

=0
而x=0也是函數(shù)φ（x）的一個零點，并且當x＜-1時，函數(shù)φ（x）沒有零點
綜上所述，函數(shù)φ（x）的零點一共10個
故選B

點評：此題考查了函數(shù)與方程的知識，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，由函數(shù)的三條件基本性質(zhì)進行分解，從而確定出函數(shù)f（x）在[-8，8]上的分段函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象是本題的突破點．