Question

若n∈N^*，(1+

2

)n=

2

an+bn（a_n，b_n∈N^*）．
（1）求a₄+b₄的值；
（2）證明：bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

；
（3）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)．試證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，[(1+

2

)n]=2bn-1．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上述結(jié)果是否依然成立？如果不成立，請用b_n表示[(1+

2

)n]（不必證明）

Answer 1

（1）(1+

2

)4=

C

04

+

C

14

•

2

+

C

24

(

2

)2+

C

34

(

2

)3+

C

44

(

2

)4=12

2

+17，
所以a₄=12，b₄=17，a₄+b₄=29．                               …（3分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(1+

2

)n=

C

0n

+

C

1n

•

2

+

C

2n

(

2

)2+…+

C

nn

(

2

)n，bn=

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

nn

(

2

)n，
而(1-

2

)n=

C

0n

+

C

1n

•(-

2

)+

C

2n

(-

2

)2+…+

C

nn

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

nn

(

2

)n]，
所以bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

成立．                                  …（6分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(1+

2

)n=

C

0n

+

C

1n

•

2

+

C

2n

(

2

)2+…+

C

nn

(

2

)n，bn=

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

n-1n-1

(

2

)n-1，
而(1-

2

)n=

C

0n

+

C

1n

•(-

2

)+

C

2n

(-

2

)2+…+

C

nn

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

n-1n-1

(

2

)n-1]，
所以bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

成立．                                …（9分）
（3）由（2）可得2bn=(1+

2

)n+(1-

2

)n是正整數(shù)，-1＜1-

2

＜0，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，0＜(1-

2

)n＜1，…（12分）
則有2bn-1＜(1+

2

)n＜2bn，
所以2b_n-1是不超過(1+

2

)n的最大整數(shù)，[(1+

2

)n]=2bn-1．     …（14分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，[(1+

2

)n]=2bn．                                  …（16分）