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        1. 如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點.

          (1)證明AD⊥D1F;

          (2)求AE與D1F所成的角;

          (3)證明平面AED⊥平面A1FD1.

          解析:(1)欲證線線垂直,先證線面垂直.由于易得AD⊥面D1DCC1,又D1F在平面上,所以AD⊥D1F.(2)求異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為求共面直線所成的角,方法是在其中一條直線所在平面內(nèi)作另一條直線的平行線后求它們所成的角.(3)欲證面面垂直,先證線面垂直.設(shè)法證明AE垂直于平面A1FD1,這又要轉(zhuǎn)化為證線線垂直,即證明AE與平面A1FD1內(nèi)兩條相交直線A1D1、D1F分別垂直即中,這利用第(2)題的結(jié)論不難證明.

          (1)證明:由正方體ABCD—A1B1C1D1,可得AD⊥面D1DCC1.

          ∵D1F面D1DCC1,∴AD⊥D1F.

          (2)解:如右圖,取AB的中點G,則易證得A1G∥D1F.

              又正方形A1ABB1中,E、G分別是對應(yīng)邊的中點,

          ∴A1G⊥AE.∴D1F⊥AE.

          ∴AE與D1F所成的角為90°.

          (3)證明:由正方體可知A1D1⊥面A1ABB1,∴A1D1⊥AE.

              又由(2)已證D1F⊥AE.

          ∵A1D1∩D1F=D1,∴AE⊥平面A1FD1.

              又AE平面AED,∴平面AED⊥平面A1FD1.


          練習冊系列答案
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          如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,
          (1)求證:AC⊥平面D1DB;
          (2)BD1∥平面ABC.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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