Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，a∈R．
（1）證明函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上無零點(diǎn)，請(qǐng)討論函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）=3x² -2ax+a-1 的判別式△＞0，可得二次函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
（2）由題意可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．根據(jù)函數(shù)y=|g（x）|=|2ax+1|，分①當(dāng)a=0時(shí)、②當(dāng)a＞0時(shí)、③當(dāng)a≤-12三種
情況，分別研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）證明：∵函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）=3x² -2ax+a-1 的判別式△=4a²-12a+12=4[(x-

3

2

)2+

3

4

]＞0，
∴函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）恒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上無零點(diǎn)，結(jié)合f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，
可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．
∵函數(shù)y=|g（x）|=|2ax+1|，
①故當(dāng)a=0時(shí)，|g（x）|=1 在（0，2）上沒有單調(diào)性．
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=|g（x）|=|2ax+1|的零點(diǎn)為x=-

1

2a

＜0，函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a≤-12時(shí)，函數(shù)y=|g（x）|=|2ax+1|的零點(diǎn)為x=-

1

2a

∈（0，

1

24

]，函數(shù)y=|g（x）|在（0，-

1

2a

）上單調(diào)遞減，在（-

1

2a

，2）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，帶由絕對(duì)值的函數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．